用數學理論推導債券定價原理

A. 如何用數學方法證明債券的久期和凸性

什麼是凸性
久期本身也會隨著利率的變化而變化。所以它不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，1984年Stanley Diller引進凸性的概念。

久期描述了價格-收益率曲線的斜率，凸性描述了曲線的彎曲程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數。

[編輯]凸性的計算

由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，並且下凸的曲線。下圖中b>a。

債券定價定理1：

債券價格與到期收益率成反向關系。

若到期收益率大於息票率，則債券價格低於面值，稱為折價債券（discount bonds）；
若到期收益率小於息票率，則債券價格高於面值，稱為溢價債券（premium bonds）；
若息票率等於到期收益率，則債券價格等於面值，稱為平價債券（par bonds）。
對於可贖回債券，這一關系不成立。

債券定價定理4：

若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導致價格下跌的量，要小於收益率下降導致價格上升的量。

例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當到期收益率變化時。

到期收益率(%) 6 7 8
價格 1042.12 1000 960.07
債券價格變化率(%) 4.21 0 -4.00
[編輯]凸性的性質
1、凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。

2、對於沒有隱含期權的債券來說，凸性總大於0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降。

3、含有隱含期權的債券的凸性一般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加了。

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B. 債券的定價原理是什麼

首先我想說, 沒有哪個機構投資者是能對債券進行定價的, 價格由市場決定, 一方的大買大拋可能影響定價, 但不可能真正定價.

以下是關於定價的幾個問題:

1. 理論上的定價方法? (適用於任何地區)
給定一個債券(coupon, maturity恆定), yield和price反比關系, 兩個是在市場中不斷變化的. 但其中一個決定, 另一個自然被決定. 具體演算法任何入門教材都會解釋.

2. 現實市場中債券是如何定價的? (適用於美國)
現實中, yield有兩個成分, treasury rate和spread. 最概括的說法是, Rate代表了市場中無風險利率的那一部分, spread則代表了具體公司的風險程度(credit risk)
Investment Grade Bond, 也就是BBB以上的, 是用spread來進行交易的(trader互相打電話會說, 我用XX基點的spread買/賣這個債券)
High yield Bond,也就是BBB以下的, 是直接用價格進行交易的(trader互相打電話會說, 我XXX dollars的價格買/賣這個債券)
雖然具體分析時候沒有什麼區別(給定其中一個, 另一個自然被決定), 但這是市場中的習慣.

3. 一級市場的債券是如何定價的?(適用於美國)
注: 由於已經解釋了spread和price是一一對應的, 所以我每提到spread就相當於解釋價格

不管一級市場還是二級市場, 直接影響spread的只有supply和demand. 其他的所有因素都是直接作用於supply和demand, 間接作用於spread的
過去的一年裡, 美國債券市場supply破了不少記錄, 五月出了史上最大蘋果的deal, 九月verizon deal馬上又把記錄刷新. 可是絕大部分新債卷到了二級市場馬上價格升高, 證明了投資者對於corporate bond的demand有多強烈.
簡單地說, 每一個新發債券的過程都是一個broker和buyside妥協價格的過程. 和IPO不同, 債券發行對於公司來說是個時有發生的過程, 買方不需要那麼漫長的研究, 賣方也長時間的路演. 一般的deal一天可以搞定, 很大的deal可能更久. (verizon用了三天. 那一周除verizon外我基本什麼都沒干)

以下才是具體如何定價:
一般在發新債券的前幾天, 公司會大概開始邀請買方的research analyst進行one on one, 解答他們對於公司的疑問. 但不會給任何deal信息,
發債券當天, 一般上午broker按照二級市場上已有的債券的價格做參考(如果該公司以前發過類似maturity的債券, 必然是以它為參考, 如果沒有, 拿同行業近似公司做參考), 給出一個將要發行新的債券的initial price talk. 這個talk會比已有債券的spread多出10-20 basis point, 這多出的部分叫做concession, 用來吸引買方參與(現在的市場concession基本已經趨近於0了, again, 因為demand如此高).
此時買方看到talk, 內部會進行討論, 決定參不參加, 參加多少. 然後order報給broker, broker根據接受到的所有order來對talk進行調整, 接下來給出一個guidence. guidence一般小於等於talk, 並且是一個比較准確的數字. 和最後的結果發生正負不超過5的改動. 買方看到guidence會開始考慮變不變自己的order, 要不要drop, 賣方再根據order的情況給出最後的spread, 並且分給各個買方allocation.

4. 二級市場的債券是如何定價的? 即: 哪些因素會影響債券價格? (適用於美國)
還是從yield的兩個部分來看, rates和spread.

rates受到影響的因素主要是宏觀經濟和FED, 這個沒什麼好解釋的, 12月FED說開始taper於是rates大漲.
spread復雜很多, 不僅收到整個債券市場影響, 還受到公司詳細的新聞, 和評級機構的影響.
債券市場很好解釋, 整個市場的行情是隨著宏觀經濟走的, 影響較小.
公司新聞, 債券的價格和股票相比, 對於公司新聞來說不敏感很多. 但是財報, 增加杠桿或者M&A的消息也能嚴重影響spread.
評級機構對於公司的評級改變會嚴重影響價格. 特別是BBB-和BB+這之間的一道坎.

C. 債券價格定價原理公式

債券收益率=(本利和-本金)/(本金*期限)
①收益率=[1000*(1+8%*5)-1000]/(1000*5)=8%
分母1000是指售價(本金)
②收益率=[1000*(1+8%*5)-1100]/(1100*5)=5.45%
③收益率=[1000*(1+8%*5)-900]/(900*5)=11.11%

D. 債券定價原理

1962年麥爾齊在對債券價格、債券利息率、到期年限以及到期收益率之間進行了研究後，提出了債券定價的五個定理。至今，這五個定理仍被視為債券定價理論的經典。
定理一：債券的市場價格與到期收益率呈反比關系。即到期收益率上升時，債券價格會下降；反之，到期收益率下降時，債券價格會上升。
定理二：當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正比關系。即到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。
定理三：隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，並且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，並且是以遞減的速度增加。
定理四：對於期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大於同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。即對於同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大於收益率上升給投資者帶來的損失。
定理五：對於給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反比關系。即息票率越高，債券價格的波動幅度越小。

E. 簡述債券定價原理

1962年麥爾齊在對債券價格、債券利息率、到期年限以及到期收益率之間進行了研究後，提出了債券定價的五個定理。至今，這五個定理仍被視為債券定價理論的經典。
定理一：債券的市場價格與到期收益率呈反比關系。即到期收益率上升時，債券價格會下降；反之，到期收益率下降時，債券價格會上升。
定理二：當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正比關系。即到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。
定理三：隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，並且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，並且是以遞減的速度增加。
定理四：對於期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大於同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。
定理五：對於給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度之間成反比關系。即息票率越高，債券價格的波動幅度越小。

F. 債券定價原理和債券價格波動特徵有哪些

所有金融產品的定價都分為兩種，絕對定價和相對定價。

具體來說到債券，絕對定價就是用現金流貼現模型，將每一期的現金流通過貼現率貼現到期初得到的現值就是債券的價值，其中市場利率的估算是難點。

相對定價說得籠統一點就是找參照物，然後用個別與其比較，通俗來說就是用大眾水平來給產品定價，股票用得最多的就是PE RATIO等，債券一般按評級分層為參考。

說道價格波動特點，不得不說到久期和凸性，先說說久期和凸性的本質是什麼，它是用來描述利率變動百分比與價格變動百分比的關系的，久期是其泰勒展開式第一項，凸性是第二項。所以久期越大利率風險越大，要求的收益率就越高（利率風險溢價相對高），自然債券價格相對低。

久期和凸性的推導之類的我就不詳細說了，金融領域人士建議一定務必要自己會推一遍，還挺有意思的。

總體來說結論就是

1. 一般來說，其他條件不變下，票息率越高，久期越小（永續債券除外）

2. 其他條件不變下，剩餘期限越長，久期越大

3. 其他條件相同，到期收益率低時，久期較大

其中由於債券的收益率與價格關系曲線是一個凸向遠點的曲線，所以收益率下降對價格的影響程度明顯大於上升對價格的影響程度。

如果還有問題，歡迎繼續討論。

G. 馬爾基爾的五大債券價格理論定律並寫出其數學論證方法

想我這樣的人，還是比較關注這個內在的6190

H. 債券定價原理的介紹

1962年伯頓·馬爾基爾（Burton Malkiel）在對債券價格、債券利息率、到期年限以及到期收益率之間進行了研究後，提出了債券定價的五個定理。至今，這五個定理仍被視為債券定價理論的經典

I. 用數學理論推導債券定價原理

任何一本投資學上面都有，這個很簡單，就是一個級數